Por: Emil Alvarado González

Introducción

Tanto el “caos” como los “fractales” fueron un campo de moda dentro de las ciencias en el tiempo en que fueron contemporáneos. Sin embargo, John Wheeler dijo alguna vez: “Nadie que no esté familiarizado con los fractales será considerado culto, científicamente, el día de mañana.” Según explica Ian Stewart en ¿Juega Dios a los dados?, “los fractales revelan un nuevo régimen de la naturaleza, susceptible de ser modelado matemáticamente. Abren nuestros ojos a pautas que, de otra manera, podrían considerarse sin forma. Dan lugar a nuevas cuestiones y proporcionan nuevas clases de respuestas.”

A pesar de que se entendía que las dimensiones solo podían medirse en números enteros, a finales del siglo XIX se dio la impresión de que los matemáticos habían descubierto lo contrario. Edward Lorenz en “La esencia del caos”, explica que estos matemáticos, habían investigado determinadas estructuras que la mayoría tenia por misteriosas y que poseían la particularidad de tener dimensión fraccionaria. Estos redefinieron el concepto de dimensión de tal manera que las curvas, las superficies, los sólidos siguieran siendo uni, bi y tridimensionales, en tanto que a otros tipos de estructura se le pudieran aplicar valores precisos de dimensión. Estos conjuntos con dimensiones fraccionarias, analizados por matemáticos del siglo XIX, aparentemente misteriosos dejarían de serlo de la mano de Benoit Mandelbrot en la segunda mitad del siglo XX.

Estas estructuras con dimensiones fraccionarias fueron abordados al mismo tiempo que en las ciencias de la complejidad se desarrollaban varios hitos que marcarían un importante camino a convertirlas en lo que hoy son. Según Lorenz en “La esencia del caos”, ya próximos a los años 70, el “caos” fue estableciéndose como término estándar para los fenómenos que presentaban dependencia sensible. Época en la que, de igual modo, se empezaron a descubrir nuevos tipos de atractores extraños cuya característica más interesante era el tener forma fractal. Es por lo anterior que, el “caos” y por ende las ciencias de la complejidad, extendieron su dominio a los fractales.

Benoit Mandelbrot decía: “Las nubes nos son esferas, las montañas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni el relámpago viaja en línea recta”. Esta frase encierra en sí misma el significado de la fractalidad y su objetivo, que no es otro que el de analizar las formas de la vida real. Estas formas son los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. La historia de los fractales y de la geometría que los estudia está llena de descubrimientos fortuitos a la vez que de algunos hallazgos perseguidos. En este artículo el recorrido de la historia tocará tanto a los individuos que contribuyeron a la llegada de los fractales, como el contexto en el que se produjo.

Antecedentes

En las matemáticas las primeras formas fractales aparecieron en el siglo XIX, cuando el matemático Karl Weierstrass graficó en 1872 su función de Weierstrass. Más tarde, aún en el mismo siglo, empezaron a aparecer conceptos cada más cercanos a lo que hoy se consideran fractales, aquellos eran ya más geométricos y menos algebraicos. Dichos conceptos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Dos grandes matemáticos del siglo XIX, que se dieron cuenta que las funciones con formas muy irregulares no eran la excepción, sino que la norma, fueron Georg Cantor y Giuseppe Peano. Estos dos matemáticos pertenecieron a un grupo que por su labor fue reconocido hacia el final de la “crisis de los fundamentos” que acabaría en 1925. Uno de los problemas tratados durante esta crisis de los fundamentos fue que las “matemáticas clásicas” eran las herramientas adecuadas para estudiar las estructuras regulares de la geometría de Euclides y la evolución continua de la dinámica de Newton mas no las formas o estructuras que no encajaban en este tipo de geometría.

Ante lo anterior se necesitaría una “nueva matemática” al descubrirse estructuras algebraicas que no encajaban con los patrones de Newton y Euclides, como son la curva de Cantor y la curva de Peano, las cuales son capaces de “llenar el plano”. La cuestión clave está en lo siguiente: al ser una curva tienen dimensión 1, pero al rellenar un cuadrado su dimensión debería ser 2, por tanto, ¿cuál es la dimensión de estas estructuras? Estos nuevos elementos no estaban contemplados en la matemática tradicional y fueron consideradas como monstruos matemáticos.

En 1919 Félix Hausdorff introdujo la primera manera de observar y estudiar este tipo de formas en la vida real, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. En la actualidad, según Ian Stewart, el concepto de Hausdorff es llamado dimensión fractal. Unos años más tarde, el ruso Andrei Kolmogorov describía una herramienta similar a la de Hausdorff que sería posteriormente conocida como la entropía de Kolmogorov. Según Lorenz en “La esencia del caos” con estos avances, especialmente el de Kolmogorov, era sencillo imaginar figuras geométricas fractales y también comprender las estructuras con dimensiones fraccionarias.

La historia de los fractales, más profundamente, se puede rastrear hasta el escritorio de Henry Poincaré dado que los mismos son las expresiones geométricas de la teoría del caos que este inició sin proponérselo. Si bien Poincaré es a quien se le debe la génesis de las ciencias de la complejidad y del pensamiento complejo, es en Benoit Mandelbrot a quien se debe dirigir la mirada cuando se habla de la geometría fractal propiamente dicha.

La geometría fractal de la naturaleza

Los conceptos de la geometría de las formas fraccionarias y las dimensiones Hausdorff-Besicovitch no eran nuevos para Benoit Mandelbrot, se había topado con ellos a lo largo de su vida. Pero fue en 1963 que, según James Gleick en su libro Caos, Mandelbrot reconoció una idea que le había rondado la cabeza durante años en la pizarra del gabinete de trabajo de Hendrick Houthakker. Mandelbrot reconoció en ese momento lo que luego desarrollaría como fractales y que lo llevaría a fundar la geometría fractal.

Ian Stewart en ¿Juega Dios a los dados?  cuenta que “el joven Benoit Mandelbrot quería ser matemático. Su tío Szolen Mandelbrot, ya lo era, y le dio un firme consejo a su sobrino: ‘Evita la geometría’.”  El contexto en el que se formó Mandelbrot, como siempre resulta visto desde la epistemología (como se estudia en el módulo de bases filosóficas de la complejidad), fue en gran medida lo que lo llevó a sus posteriores descubrimientos. Estudió en la Escuela Normal y en la Escuela Politécnica de París, fue en estas escuelas donde a modo de rebasar sus problemas con el álgebra empezó a utilizar su alta intuición geométrica.

Es en estas escuelas donde Mandelbrot entró a formar parte de un club que había sido liderado por su tío Szolen, el club Bourbaki. Este grupo, mayoritariamente de jóvenes, perseguía reedificar las matemáticas francesas. De este equipo se desconoce el nombre de todos sus miembros y el número total de los mismos. Sin embargo, es conocido la influencia que tuvieron en toda Europa al ser varios de los matemáticos mejores y más brillantes de su tiempo según apunta James Gleick. Bourbaki, en parte, era una reacción a Poincaré y sus tratados trataban de darle a las matemáticas más formalidad ya que “el matemático debía empezar con principios sólidos y deducir a partir de ellas”. Por encima de todo, Bourbaki rechazaba el empleo de figuras.

Según explica Gleick, el hermetismo de los matemáticos no era solo en Francia, en sentido general en el mundo, las matemáticas eran separadas a propósito, de toda otra manifestación de ciencia. Los matemáticos, de ese momento histórico, decidían que lo mejor era abandonar toda relación con la naturaleza.  Es en este contexto en el cual se desarrolló Mandelbrot, para el cual este estilo tan estricto impuesto por Bourbaki de praxis matemática era insoportable. Ante esta situación Mandelbrot abandonó la Escuela Normal y diez años después Francia. Pocas décadas después la aparición del ordenador que podía proporcionar una “matemática visible” hizo agonizar a Bourbaki.

Ya en Estados Unidos, Benoit Mandelbrot se instaló en el Centro de Investigaciones Thomas Watson de IBM. Allí se encontró un problema de ruido de transmisión en las líneas que transferían información de una computadora a otra. Mandelbrot resolvió el problema utilizando escalas y aplicando lo que luego se consideraría como un conjunto de Cantor, pero dispuesto temporalmente, era una muestra de tiempo fractal. Este descubrimiento fue su primer gran avance hacia el encuentro con los fractales.

Mandelbrot hizo experimentos tanto en el estudio de la corriente del rio Nilo como con los precios del algodón. Fenómenos que no habían tenido acogida en la geometría de dos milenios anteriores cuya abstracción resultaba inútil para comprender los fenómenos complejos. Estos experimentos los empezó, a partir de encontrar en el estudio de los precios del algodón de Houthakker un gráfico idéntico al arrojado por sus estudios sobre la distribución de las rentas. Fue en ese momento que comenzó a comprender que estaba ante las formas de la vida real. Según Gleick, esta comprensión de la complejidad de la naturaleza convenía a la sospecha de que no era fortuita ni accidental.

Esta reivindicación de la forma y esencia de la naturaleza y de su complejidad llegó por primera vez, de forma más decisiva con el articulo ¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña?. Este articulo contenía una pregunta, ¿cuál era la esencia de la línea de un litoral?, la cual se convirtió, junto con el artículo en sí mismo, en el punto de partida de su pensamiento. Mandelbrot afirmó como conclusión de esa investigación que cualquier litoral es de longitud infinita o, dicho de otra forma, la longitud depende de la largura de la regla. Mandelbrot observaba el efecto de ver un objeto desde distancias distintas y a escalas diferentes.

Pese a lo anterior, sobre todas las apreciaciones debía haber un valor, el de la extensión real de las costas. Debido a que Mandelbrot no lograba convergencia utilizando métodos de la geometría euclidiana, recurrió a una noción más diversa, la dimensión. Pero siendo su respuesta inicial dependiente de la escala de medición, Mandelbrot optó por algo que era imposible en la apariencia, las dimensiones fraccionales. Fue en 1975, ya con una idea mucho más madura, que, ojeando el diccionario de latín de su hijo, Mandelbrot halló la raíz latina fractus que significa fraccionado, derivado del verbo frangere que significa romper. Según Ian Stewart, a partir de los términos anteriores creó la palabra fractal para describir un objeto geométrico que siga manifestando una estructura detallada a un gran rango de escalas.

Fue en ese momento de su vida que Mandelbrot publicó primero “Fractales: Forma, casualidad y dimensión”. Luego escribió un sustituto a su primer libro sobre fractales, “La geometría fractal de la naturaleza” (1982), que acabaría por convertirse en el libro fundamental de la rama matemática contenida en su nombre. A partir de este avance de Mandelbrot la Geometría Fractal tanto para analizar fenómenos en el espacio como en el tiempo, se convertiría en uno de los instrumentos de los científicos heterodoxos que empezarían a cambiar la manera de analizar los problemas, especialmente los complejos.

Bibliografía

  • Anónimo. (2015). Fractal. Enero 19,2017, de Wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
  • Gleick, J. (1987). Chaos. Estados Unidos: Critica.
  • Lorenz, E. (1995). La esencia del caos. Estados Unidos: Debate.
  • Mandelbrot, B. (1982). Geometría fractal de la naturaleza. Estados Unidos: W. H. Freeman and Company.
  • Stewart, I. (1991). ¿Juega Dios a los dados? Estados Unidos: Drakontos Bolsillo.