Por: Johnny Pujols

El presente trabajo procura recoger los aportes más importantes de diversos matemáticos al desarrollo y evolución de las Ciencias de la Complejidad, sin embargo, no se pretende limitar las Ciencias de la Complejidad a los campos de acción o de aplicación de las Ciencias Matemáticas. Reducir las Ciencias de la Complejidad a una rama de desarrollo de las Ciencias Matemáticas sería sin duda un gravísimo error que desconocería la transdiciplinariedad de las Ciencias de la Complejidad. Sin embargo, no es casual que las primeras limitaciones que encontró la ciencia tradicional desde su propia mirada y “metodología” y su “tropiezo” con problemas de naturaleza compleja (donde la no linealidad es una característica resaltable y en donde interacción entre los componentes del sistema resulta más importante para su aprehensión que las características intrínsecas de los componentes separados o des-enredados), ocurriera precisamente desde las ciencias matemáticas.

Aleatoriedad, No Linealidad y Sistemas Dinámicos

Uno de los primeros problemas de esta naturaleza fue el problema de los tres cuerpos, que consiste en tratar de “determinar”, en cualquier instante, las posiciones y velocidades de tres cuerpos de cualquier masa, sometidos mutuamente a su atracción gravitacional y a partir de sus condiciones iniciales (de posición, velocidad, masa).

Era una de las primeras veces en que desde la ciencia tradicional se buscaba entender el comportamiento de una dinámica no lineal, en una época en la que el determinismo Newtoniano había sugerido la comprensión del mundo desde la modelación lineal, consecuencia de esta visión Newtoniana fue el trabajo de Pierre Simón Laplace, publicado en 1776 como tratado de Mecánica Celeste (Traité du Mécanique Céleste), en el que concluyó categóricamente que “si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro”.

El problema de los tres cuerpos no era un caso hipotético, el universo está lleno de sistemas de igual o mayor complejidad, el sistema TierraLunaSol es un ejemplo de este tipo de problemas. El primero en estudiar este sistema fue el astrónomo y matemático francés Charles-Eugène Delaunay quien publicó dos volúmenes sobre el tema. En su trabajo aparece ya el concepto de Caos y se introduce la teoría de perturbación como una primera aproximación para explicar un sistema complejo a partir de un sistema sencillo perturbado por un tercer elemento.

El problema de los tres cuerpos fue retomado a finales del siglo XIX por el matemático y topólogo también francés Henri Poincaré, si bien el problema no fue resuelto, su trabajo resultó de importante valor para el desarrollo posterior de las ciencias de la complejidad.

Poincaré concluyó indicando que aunque el problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de las cuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica, lo que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes. En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos, para n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o integrales de movimiento (o integrales primeras). Esta aplicación para casos de más de tres cuerpos es una introducción a los Sistemas Dinámicos.

Su trabajo introduce el espacio de fase como una estrategia de abordaje desde un enfoque cualitativo para este tipo problemas, y al mismo tiempo presenta las llamadas Aplicaciones de Poincaré más concretamente la Sección de Poincaré para entender sistemas en los que el tiempo universal y externo al sistema ya no es tan importante para entender la evolución del mismo como los momentos de retorno o recursividad capturados en las secciones, lo cual constituye un primer esfuerzo para aprehender sistemas a partir de su propia temporalidad o de sus ciclos internos.

Poincaré presento el problema desde un punto de vista distinto al preguntarse si el Sistema Solar sería permanentemente estable, introduciendo de manera más categórica la posibilidad de caos en sistemas altamente dependientes (sensibles) a las condiciones iniciales, reconociendo la existencia de fenómenos que no respondían a una dinámica lineal, aquellos en los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado.

Quedo sin demostrar sin embargo una de las líneas de avance de su trabajo, el llamado “Ultimo Teorema Geométrico de Poincaré” que es un caso muy especial del problema de los tres cuerpos, fue este el punto de partida de otro matemático importante para el desarrollo de las Ciencias de la Complejidad, el matemático americano George David Birkhoff, quien en 1913 probó la veracidad del teorema.

Los aportes de Birkhoff no se limitan a la comprobación del Teorema Geométrico de Poincaré. Su trabajo “Sistemas Dinámicos” (Dynamical System), publicado en 1927, estudia el equilibrio en los Sistemas Dinámicos y aborda las cuestiones como estabilidad e inestabilidad en varios tipos de Sistemas Dinámicos y de manera particular en los sistemas de movimiento periódico.

Uno de los aportes más controversiales a las Ciencias de la Complejidad fue el uso por primera vez de ecuaciones en diferencia para el tratamiento de Sistemas Dinámicos en contra del uso habitual de ecuaciones diferenciales. Esta iniciativa se le debe al matemático norteamericano Stephen Smale, en su trabajo Sistemas Dinámicos Diferenciables (Differenciable Dynamical Sysmtems).

Otro aporte de Smale fue el trabajo relativo a la ahora denominada Herradura de Smale (1960). Se trata de la transformación del plano que asocia un dobladura, una dilatación y una contracción, transformando un cuadrado en una especie de herradura.

La dinámica de la herradura es extremadamente rica, ya sea en tiempo futuro o pasado, con una estructura que se repite al infinito, es decir que presenta autosimilaridad y libertad de escala (una aproximación interesante a la fractalidad 22 años antes del trabajo de Mandelbrot). Otra característica de la herradura de Smale es que, dependiendo de las condiciones iniciales de salida, la trayectoria es muy diferente para cada punto y que cualquier combinación de trayectorias imaginable (aun sucesiones infinitas) es posible y existe para algún punto del cuadrado original, esto significa que la dinámica recorre todas las trayectorias posibles.  Smale demuestra que la herradura es estable, deformarla ligeramente no destruye la riqueza de su dinámica: la sensibilidad de las trayectorias en las condiciones iniciales sigue presente, es indestructible. Es la primera vez que se verificaba la coexistencia del caos, es decir de la inestabilidad de las trayectorias individuales, con la estabilidad estructural.

En los años siguientes se avanzó aún más en el estudio de los sistemas dinámicos en condiciones de inestabilidad, entre ellos el “Problema Teórico Fundamental del Equilibrio”, un fenómeno que en la actualidad se considera movimiento caótico y que fue abordado en 1949 por el Matemático Uruguayo Jose Luis Massera quien lo caracterizó en términos de las funciones de Lyapunov.

El concepto de Aleatoriedad y No Linealidad matemática fue ampliamente estudiado por el matemático ruso Andrey Kolmogorov uno de sus aportes más importantes en este sentido fueron la teoría algorítmica de la aleatoriedad y la Complejidad de Kolmogorov también se denominada complejidad descriptiva, complejidad estocástica, o entropía algorítmica.

Caos y Atractores

Aleksandr Mijáilovich Lyapunov fue un matemático y físico ruso. A principios del siglo XX presentó diversos trabajos sobre Sistemas Dinámicos, especialmente sobre la estabilidad de los Equilibrios. Inicialmente no se vinculó su trabajo al desarrollo de las ciencias de la complejidad sin embargo a mediados del siglo pasado, se ha encontrado diversas aplicaciones para las funciones de Lyapunov y los exponentes de Lyapunov entre ellas los llamados fractales de Lyapunov que pueden modelarse computacionalmente a partir de los exponentes del mismo nombre.

Fractales de Lyapunov modelados computacionalmente a partir de los exponentes de Lyapunov (Fuente: http://mathforum.org/mathimages/index.php/Markus-Lyapunov_Fractals)

Otro de los aportes de Lyapunov al estudio de los sistemas dinámicos fue el uso de métodos aproximativos (y no los algebraicos tradicionales) llamados actualmente Métodos de Lyapunov.

Actualmente los Exponentes de Lyapunov se utilizan en las Ciencias de la Complejidad para caracterizar atractores extraños, permitiendo identificar la convergencia o divergencia de las trayectorias u otras características como el horizonte temporal (horizonte de predictibilidad).

El popular concepto de Efecto Mariposa para caracterizar sistemas en los que cualquier pequeña variación en las condiciones iniciales producirá efectos totalmente distintos a los producidos si no se consideran estas variaciones, es decir sistemas sensibles a las condiciones iniciales, debe su nombre al trabajo del mismo nombre presentado por el Matemático y Meteorólogo norteamericano Edward Lorenz, su contribución más conocida a las Ciencias de la Complejidad, es el llamado Atractor de Lorenz.

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Atractor de Lorenz

(Fuente: Stanford Encyclopedia of Philosophy>CHAOS.

https://plato.stanford.edu/entries/chaos/)

En 1975 los matemáticos norteamericanos James Alan Yorke y Tien-Yien Li publicaron un artículo titulado “El Periodo 3 Implica Caos”, este trabajo tuvo una gran repercusión mediática. Formalmente el enunciado se conoce como “Teorema de Yorke-Li”, e indica que:

Siendo f:IR →IR una aplicación continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.

Dicho de otro modo, se demostró que cualquier aplicación continua de una sola dimensión

F: R → R

Que tiene una órbita de período-3 debe tener dos propiedades:

  1. Para cada número entero positivo p, hay un punto en I que devuelve al punto de partida después de las aplicaciones p del mapa y no antes.

Esto significa que hay un número infinito de puntos periódicos (cualquiera de los cuales pueden o no ser estable): diferentes conjuntos de puntos para cada periodo p. Esto resultó ser un caso especial del teorema de Sharkovsky .

  1. Existe un conjunto infinito numerableS que está codificado.

Un mapa que satisface la propiedad 2 es a veces llamado “caótico en el sentido de Li y Yorke”. Esta segunda propiedad se denomina igual que el nombre de su artículo “Período tres implica caos”. El conjunto no numerable de puntos caóticos puede, sin embargo, ser de medida cero, en cuyo caso el mapa se dice que tiene no periodicidad no observable o el caos no observable.

La importancia del Teorema de Yorke-Li para las ciencias de la complejidad es que permite identificar a partir de la recurrencia o aparición de periodo 3 la presencia de caos en los Sistemas Dinámicos.

Bifurcaciones y Fractales

El concepto de Bifurcación explica un cambio en la estructura cualitativa o topológica de una dinámica, más concretamente indica la presencia de más de una alternativa de estado para la misma. El matemático norteamericano Mitchell Feigenbaum estudiando los Fluidos Turbulentos se involucró en el estudio de los Mapas Caóticos. Algunos mapas con un único parámetro lineal presentan un comportamiento caótico cuando el parámetro se encuentra dentro de una región específica, a medida que el parámetro se acerca a la región el mapa sufre una bifurcación a valores precisos del parámetro, luego de cierta estabilidad se presenta oscilaciones entre dos valores, luego entre cuatros y así sucesivamente.

En 1975, el doctor Feigenbaum, descubrió que la proporción de la diferencia entre los valores en que estos sucesivos períodos de duplicación (bifurcación) se producen, tiende a un valor constante, aproximadamente de 4.6692, este es uno de los llamados Números de Feigenbaum.

Su trabajo sobre las bifurcaciones concluye más formalmente que:

Los diagramas de bifurcación son los valores límite de sucesiones del tipo xn+1 = λf(xn).

Existe una familia de valores λ –{λ1, λ2, λ3, …}–, de modo que para λ < λ1, la sucesión {xn} posee un único límite; si λ1 ≤ λ < λ2, la sucesión oscila entre dos valores; si λ2 ≤ λ < λ3, la sucesión oscila entre cuatro valores, etc.

Estos {λ1, λ2, λ3, …} que separan dos intervalos se llaman valores de las bifurcaciones.

La primera constante de Feigenbaum se define como el límite de los cocientes entre dos intervalos sucesivos de la bifurcación, es decir,

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y su valor aproximado es 4,669201609102990671853203. La segunda constante de Feigenbaum es el límite de la relación entre dos distancias sucesivas entre las ramas más cercanas de xn (el máximo de la función f):

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y su valor aproximado es 2,502907875095822283.

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Diagrama de Bifurcación para la Aplicación Logística.

(Fuente: Revista Investigación y Ciencia>Bifurcaciones/15 Sept. 2014

http://www.investigacionyciencia.es/blogs/matematicas/33/posts/bifurcaciones-12410)

El primer trabajo sobre fractales se debe al matemático francés Gastón Julia quien trabajo y descubrió la ahora denominada Matemática Fractal y los Conjuntos de Julia, una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.

Sin embargo, su trabajo no fue vinculado a las Ciencias de la Complejidad sino hasta la aparición en 1982 del trabajo “Geometría Fractal de la Naturaleza” (Fractal Geometry of Nature) de Benoît Mandelbrot, un matemático polaco nacionalizado francés y norteamericano. De hecho, el termino fractal, se le debe a Mandelbrot. La ventaja que tuvo Mandelbrot y que le permitió profundizar el desarrollo de la Geometría Fractal fue la aparición del ordenador.

Benoît Mandelbrot también desarrollo el llamado Conjunto de Mandelbrot, un conjunto matemático de puntos en el plano complejo, cuyo borde forma un fractal. Este conjunto se define así, en el plano complejo:

A partir de c, se construye una sucesión por inducción:

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Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

La Geometría Fractal ha tenido una repercusión inmediata en el desarrollo de las Ciencias de la Complejidad, la autosimilaridad, libertad de escala, y los conflictos entre atractores de dinámicas complejas son recogidos por esta representación geométrica-topológica.

Conjunto de Julia (Derecha: un fractal de C=[0.285, -0.01], Izquierda Conjunto de Julia en 3D)  (Fuente: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/fractales.html)

Conjunto de Mandelbrot (Cada imagen es la ampliación de la imagen anterior)

(Fuente: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/fractales.html)